4.9 Linealización y Diferenciales

Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el volumen calculado del cono. La linealización es el proceso por el cual se encuentra la aproximación lineal a una función en un punto dado. La linealización de una función al mismo tiempo está definiendo la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto.

Diferenciales

La idea fundamental de linealización de una función originalmente fue expresa en la terminología de diferenciales. Suponga que y = f(x) es una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene al número a . Si x1 es un número diferente sobre el eje x, entonces los incrementos Δx y Δy son las diferencias.

Δx = x1 - a y Δy = f(x1) - f(a).

Pero ya que x1 = a + Δx, el cambio en la función es

Δy = f(a + Δx) - f(a).

Para valores de Δx que están próximos a 0, el cociente diferencial

es una aproximación del valor de la derivada de f en a:

Las cantidades Δx y f'(a)Δx diferenciales y se denotan por los símbolos dx/dy, respectivamente. Es decir.

Δx = dx y dy = f'(a)dx.