4.5 Regla de L´hopital

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.

Esta idea de límite conduce a la idea derivada de una función. Esta sección se invierte la derivada para poder usarse para calcular ciertos límites con formas indeterminadas.

Teorema 4.5.1

Teorema 4.5.2

4.5.1 Demostración del caso 0/0

También puede asmirse que f(a) = 0. Concluimos que f y g son continuas en a. Además, puesto que f y g son diferenciales, éstas son continuas sobre los intervalos abiertos (r, a) y (a, s). En consecuencia, f y g son continuas en el intervalo (r ,s). Luego, para cualquier x ≠ a en el intervalo, el teorema 4.5.1 es aplicable a [x, a] o [a, x]. En cualquier caso, entre x y a existe un número c tal que.

Al hacer x --> a implica c --> a. y entonces