4.2 Razones de Cambios

La derivada de una función es su razón de cambio instantánea con respecto a la variable en la sección precedente vimos que cuando una función describe la posición de un objeto que se mueve sobre una horizontal o una vertical, la razón de cambio con el tiempo se interpreta como la velocidad de un objeto.

Es lo mismo que:

Directrices para resolver problemas relacionados

i) Lea varias veces con cuidado el problema. Si le es posible, trace un esquema.

ii) Idenfifique con símbolos todas las cantidades que cambian con el tiempo.

iii) Escriba todas las razones que se proporcionan . Use notación de derivadas para escribir la razón que desea encontar.

iv) Escriba una ecuación o una función que relacione todas las variables que haya inroducido.

v) Diferencie con respecto al tiempo t la ecuación o la función encontrada en el paso iv) . Este paso puede requerir el uso de diferenciación implícita. La ecuación resultante después de la diferenciación relaciona las razones de cambio con el tiempo de la variable.

A partir de la trigonometría de un tríangulo rectángulo, por la figura vemos que

Al diferenciar la última ecuación con respecto a t y usar la razón dada obtenemos

En el instante en que x = 3, tan 0 = 3/2, de modo que por la identidad trigonometría 1 + tan² 0 = sec² 0 obtenemos sec² 0 = 13/4. Por tanto,

En el siguiente ejemplo es necesario usar la fórmula para el volumen de un cono circular recto de altura H y radio en la base R: